Besondere Rechtecke

Besondere Seitenverhältnisse im Rechteck

Es gibt Formate, deren Seitenverhältnis besondere Eigenschaften hervorbringt.

Das Seitenverhältnis 1 : √2, bekannt als „DIN-Format“, kann in ähnliche Rechtecke halbiert oder verdoppelt werden, also solche mit identischem Seitenverhältnis.

Das „goldenen Rechteck“ mit dem Seitenverhältnis 1 : φ, dem „goldenen Schnitt“, ist stetig teilbar. Wenn das Quadrat der kürzeren Seite, also das größte enthaltene Quadrat, abgezogen wird, bleibt ein „goldenes Rechteck“ übrig.

Das „silbernen Rechteck“ mit dem Seitenverhältnis 1 : δ, dem „silbernen Schnitt“, ist ebenfalls stetig teilbar. Wenn das Quadrat der kürzeren Seite doppelt abgezogen wird, bleibt ein „silbernes Rechteck“ übrig.

 

Seitenverhältnis 1 : √2 („DIN-Format“)

Wenn man √2 halbiert, also durch 2 teilt, entspricht das Ergebnis dem Kehrwert, also  √2 ÷ 2 = 1 ÷ √2. Hierauf beruht die Ähnlichkeit bei der Teilung. Die Teilungsvorschrift des „DIN-Formates“ erzeugt eine geometrische Folge mit dem Quotienten √2.

√2–3 : √2–2 : √2–1 : √20 : √21 : √22 : √23

(≈ 0,353 : 0,5 : 0,707 : 1 : 1,414 : 2 : 2,828)

√2 ist eine irrationale Zahl, die also nicht als Bruch zweier natürlicher Zahlen dargestellt werden kann. Das heißt es gibt kein gemeinsames Maß mit den natürlichen Zahlen, beide sind inkommensurabel. Das wurde in der heute gültigen Form von Euklid (um 365–300 v. Chr.) bewiesen (Euklid X, Def. 1–4; vgl. Geyer, Euklid, S. 13–14).

Hiernach ist √2 das geometrisches Mittel von 1 und 2, das heißt in der geometrischen Ausdrucksweise der Griechen, das Rechteck der Seitenlängen 1 und 2 hat denselben Flächeninhalt wie das Quadrat der Seitenlänge √2, denn 1 × 2 = √2² = 2.

Das Verhältnis von Seitenlänge und Diagonale im Quadrat beträgt 1 : √2. Bei Seitenlänge 1 hat die Diagonale √2, bei Seitenlänge √2 hat sie die Länge 2.

Das Quadrat hat als reguläres Polygon einen Inkreis im Durchmesser der Seitenlänge und einen Umkreis im Durchmesser der Diagonale. Der aus beiden Kreisen gebildete Ring hat denselben Flächeninhalt wie der Inkreis, ¼ π (linke Abbildung).

 

Im Rechteck mit den Seitenlängen 1 und √2 hat die Diagonale die Länge √3, das ist die Würfeldiagonale. Der Würfel, einer der fünf platonischen Körper, besteht aus 6 Quadraten mit 12 Kanten und 8 Ecken (rechte Abbildung). Jeweils 2 gegenüberliegende Ecken beschreiben ein Rechteck mit den Seitenlängen 1 und √2.

In seinem um 130 n. Chr. entstandenen Plato-Kommentar stellte Theon von Smyrna die nach ihm benannte Folge als ganzzahlige Näherung an die Quadratdiagonale auf. Die Theon-Folge beginnt mit dem Quadrat der Seitenlänge 1, also T1 = T2 = 1, das folgende ungerade Glied ist die Summe aus den beiden vorangehenden, das gerade Glied ist Summe aus den vorangehenden ungeraden Gliedern, also T3 = T1 + T2 = 2 und T4 = T1 + T3 = 3 (Wikipedia, Theon).

1, 1, 2, 3, 5, 7, 12, 17, 29, 41, 70, 99, 169, 239, 408, 577, 985, 1.393, 2.378, …

Der Quotient aus zwei aufeinanderfolgenden Theon-Zahlen ist abwechselnd kleiner und größer als √2 und nähert sich dieser immer weiter an. Der Quotient aus T12 ÷ T11 = 99 ÷ 70, weicht nur noch um –0,0051 % von √2 ab. Multipliziert mit 3 ergibt sich 297 ÷ 210, das ist das Format DIN A4 in Millimetern. Diese ganzzahligen Folgen heißen auch „Differenzfolgen“.

Die Pellfolge ist ebenfalls eine ganzzahlige Differenzfolge, sie konvergiert gegen den Grenzwert 1 + √2 (Wikipedia, Pell-FolgeWikipedia, Pell Number). Jedes Glied der Pellfolge ist die Summe aus dem Doppelten des vorangehenden und des vor diesem liegenden Gliedes. Die rekursive Bildungsvorschrift der Folge lautet: Pn = 2 × Pn–1 + Pn –2. Die ersten Glieder der Pell-Folge lauten:

0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2.378, 5.741, 13.860, 33.461, 80.782, …

Wie man sieht, stimmen die Pell-Zahlen mit den ungeraden Gliedern der Theon-Folge überein. Es gibt eine explizite (geschlossene) Funktion, so dass man jede beliebige Pell-Zahl ohne Kenntnis der vorangehenden Glieder berechnen kann:

Pn = ((1 + √2)n – (1 – √2)n) ÷ 2 √2

Das ist der „silberne Schnitt“ (s. u.).

Das „goldene Rechteck“

Der „goldene Schnitt“ teilt eine Strecke so, dass sich die gesamte Strecke zum größeren Teil, „Maior“ (M), so verhält wie der größere zum kleineren Teil, „minor“ (m). Das Teilungsverhältnis beträgt 38,2 % zu 61,8 % oder 137,5° zu 222,5°.

Das aus der gesamten Strecke und dem kürzeren Abschnitt gebildete Rechteck hat denselben Flächeninhalt wie das über dem längeren Abschnitt gebildete Quadrat. So formulierte das Euklid (um 365–300 v. Chr.) in seinen „Elementen“ (Euklid II, Prop. 11; VI, Def. 3; Geyer, Euklid; Stegmann, Goldener Schnitt). Das Verhältnis der größeren Teilstrecke zur kleineren ist die „goldene Zahl“ φ, die irrational ist und nicht als endlicher Bruch zweier natürlicher Zahlen dargestellt werden kann.

Ein Rechteck mit dem Seitenverhältnis 1 : φ heißt „goldenes Rechteck“. Wenn man von diesem das Quadrat der kürzeren Seite, also das größte Quadrat, abzieht, bleibt wieder ein „goldenes Rechteck“ übrig. Das bricht nie ab. Die Teilung ist stetig.

 

Die Konstruktion des „goldenen Rechtecks“ mit den Seiten 1 und φ ist einfach möglich. Man verbindet im Quadrat der Seitenlänge 1 die Seitenhalbierende mit der der gegenüberliegenden Ecke. Dann trägt man den Abstand außen ab (Abbildung, rechts; vgl. Stegmann, Goldener Schnitt).

Es handelt sich hier um die Diagonale des Rechtecks mit den Seitenlängen ½ und 1, sie hat die Länge √(¼ + 1) = ½ √5. Die Seitenlänge des goldenen Rechtecks beträgt ½ + ½ √5 = ½ (1 + √5) = φ ≈ 1,618. Der längere Abschnitt (M) ist 1 und der kürzere Abschnitt (m) ist φ – 1 = 1 ÷ φ. Die geometrische Mitte von φ und 1 ÷ φ ist 1.

Die Summe aus zwei Zahlen geteilt durch 2 ist das arithmetische Mittel dieser beiden Zahlen. Somit ist die „goldene Zahl“ φ das arithmetische Mittel von 1 und √5, denn: φ = (1 + √5) ÷ 2. Wenn man φ mit dem Kehrwert addiert, ist das Ergebnis √5, also: φ + 1 ÷ φ = √5. Diese irrationale Zahl √5 ist die Diagonale im Rechteck der Seitenlängen 1 und 2 (Wikipedia, Square root of 5).

Der „goldene Schnitt“ kommt in regulären Polygonen häufig vor. Er kann im gleichseitigen Dreieck durch die Seitenhalbierenden auf dem Umkreis abgetragen werden, was erst 1982 veröffentlicht wurde (dritte Abbildung). Im Quadrat teilt das „goldene Rechteck“ die Seiten im „goldene Schnitt“ (erste Abbildung). Entdeckt wurde der „goldene Schnitt“ im regulären Fünfeck (zweite Abbildung). Die inneren Diagonalen teilen einander nach diesem Verhältnis. Sie bilden das Sternfünfeck („Pentagramm“). Die beiden Diagonalen einer Ecke bilden mit der gegenüberliegenden Seite ein „goldenes Dreieck“, und die Diagonale verhält sich zur Seite wie M : m.

Das „goldene Rechteck“ kommt im Ikosaeder („Zwanzigflach“) vor, einem der fünf platonischen Körper. Er wird durch 20 gleichseitige Dreiecke begrenzt, hat 30 Kanten und 12 Ecken. Diese 12 Ecken sind die Ecken von drei senkrecht aufeinander stehenden „goldenen Rechtecken“ (vierte Abbildung; vgl. Stegmann, Goldener Schnitt, S. 24).

Eine besondere Eigenschaft der „goldenen Zahl“ φ besteht darin, dass die Potenzen in linearer Form dargestellt werden können, φ² = φ + 1 ≈ 2,618 und 1 ÷ φ = φ – 1 ≈ 0,618.

φ2 = φ + 1
φ3 = 2 φ + 1
φ4 = 3 φ + 2
φ5 = 5 φ + 3
φ6 = 8 φ + 5
φ7 = 13 φ + 8
φ8 = 21 φ + 13

… oder allgemein:

φn = an φ + an–1

Die lineare Umformung muss nicht berechnet werden, sondern ergibt sich rekursiv aus den beiden vorherigen Potenzen. So kann die nächste Potenz leicht ermittelt werden:

φ9 = 34 φ + 21

Die Rekursion ist wohlbekannt: Es handelt sich um die Fibonacci-Zahlen, eine Zahlenfolge, die eng mit dem „goldenen Schnitt“ zusammenhängt (vgl. Stegmann, Goldener Schnitt).

Hier ist jedes Glied die Summe der beiden vorangehenden Glieder, beginnend mit F1 = F2 = 1. Die rekursive Gleichung lautet:

Fn = Fn–1 + Fn–2

Die Folge ist:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1.597, …

Die Fibonacci-Zahlen heißen nach dem Mathematiker Leonardo da Pisa gen. Fibonacci (um 1180–1250), einem Zeitgenossen Kaiser Friedrichs II. von Hohenstaufen, dem er auch begegnete. Johannes Kepler befasste sich in seinem 1619 erschienenen Hauptwerk, den „Harmonices mundi“, ausführlich mit diesen Zahlen. Sie sind für ihn der Schlüssel zur Sphärenharmonie (Böttger, Harmonices mundi). Er formulierte ihr Bildungsgesetz und stellte fest, dass das Quadrat der Fibonacci-Zahlen abwechselnd größer und kleiner ist als das Produkt der benachbarten Glieder. Außerdem fand er heraus, dass der Quotient aus zwei benachbarten Fibonacci-Zahlen gegen die goldene Zahl φ konvergiert, das heißt er nähert sich immer weiter an, wobei er abwechselnd größer und kleiner ist als diese (Stegmann, Der goldene Schnitt).

Die Fibonacci-Zahlen sind eine Differenzfolge. Mit der Formel von Binet kann jedes Glied berechnet werden.

Fn = (1 ÷ √5) × (((1 + √5)÷ 2)n – ((1 – √5) ÷ 2)n)

Der „silberne Schnitt“

Beim „goldenen Schnitt“ verhält  sich die gesamte Strecke zum längeren Teil so wie der längere Teil zum kürzeren, also (M + m) : M = M : m = φ. Beim „silbernen Schnitt“ ist der längere Teil verdoppelt, 2 × (M + m) ÷ M = M ÷ m = δ. Das führt zu der quadratischen Gleichung δ² – 2 δ – 1 = 0 mit der positiven Lösung δ = 1 + √2 ≈ 2,414.

Ein Rechteck mit dem Seitenverhältnis 1 : δ heißt „silbernes Rechteck“.

(Köller, Papierformat)

(Wolfram, Pythagorean Constant)

(Wolfram, Golden Rectangle)

Markov weist darauf hin, dass Testpersonen nicht in der Lage sind, aus mehreren Rechtecken das „goldene Rechteck“ zu bestimmen (Markov, Golden Ratio).

(Wikipedia, Goldener Schnitt)

(Connor/Robertson, Golden Ratio)

(Holzapfel, Goldener Schnitt)

(Köller, Goldener Schnitt)

(Stelzner, Goldener Schnitt)

Frings bestreitet für die Renaissance jede Bedeutung der stetigen Teilung durch den goldenen Schnitt. Dieser ist auch nicht von Natur aus harmonisch. Dem Traktat des Luca Pacioli kommt keine weitere Wirkung zu. Der goldene Schnitt ist eine Erfindung des 19. Jahrhunderts durch Zeisig (Frings, Goldener Schnitt).

(Janaszek, Goldener Schnitt)

(Tschichold, Willkürfreie Maßverhältnisse)

(Schopp, Typographie)

Die wahren Ursprünge des „DIN-Formats“

Als „Entdecker“ des Seitenverhältnisses 1 : √2 gilt Georg Christoph Lichtenberg, der es in einem Brief vom 25. Oktober 1786 erstmals erwähnte und auch verwendete (Kuhn, Lichtenberg). Während der französischen Revolution, am 13. Brumaire Jahr 7 (3. November 1798), wurde im „Loi de timbres“ das spätere DIN-Format für die Stempelpapiere vorgeschrieben. Das Format „grand registre“ (0,4204 m × 0,5946 m ≈ 0,2500 m²) entspricht genau DIN A2 und führt, in Lagen zu 4 Blättern gebunden, auf DIN A4 (Bull. des lois 237, Nr. 2136, nach Kuhn).

Das Format 1 : √2 und seine Eigenschaften waren spätestens seit Theon von Smyrna bekannt, jedenfalls lange vor dem 18. Jahrhundert. Auch als Buchformat scheint es verwendet worden zu sein, wie die folgende Zusammenstellung ausgewählter Zimelien aus der Frühzeit des Buchdrucks zeigen.

Werk Maße (Katalog) außen innen Ref.
Gutenberg-Bibel B42 (1452–54) 289 mm × 406 mm 1 : 1,41 1 : 1,41 GW 4201
Gutenberg-Bibel B42 (1452–54) 1 : 1,41 Göttinger Ex.
Gutenberg-Bibel B42 (1452–54) 1 : 1,41 Berliner Ex.
Peuerbach Theoricae novae planetarum (1473) 215 mm × 307 mm 1 : 1,43 1 : 1,5 GW M36634
Schedelsche Weltchronik (1493) 329 mm × 474 mm 1 : 1,44 1 : 1,44 GW M40784
Pacioli Summa di aritmetica (1494) 300 mm × 404 mm 1 : 1,35 1 : 1,29 GW M18913
Manuzio Hypnerotomachia (1499) 214 mm ×  319 mm 1 : 1,49 1 : 1,50 GW 7223
Pacioli Summa di aritmetica (1521)  k. A. 1 : 1,44 Res/4 Math.p. 356
Bock New Kreutterbuoch (1539)  k. A. 1 : 1,67 999/4° Med. 76
Münster Cosmographey (1564) 211 mm × 317 mm 1 : 1,50 1 : 1,50 VD16 M6698

Die 42-zeilige Gutenberg-Bibel von 1452–1454 gehört seit 2001 mit der Göttinger Ausgabe zum UNESCO-Weltdokumentenerbe. Es handelt sich um eine von insgesamt 30 Pergament-Ausgaben, die Gutenberg neben 150 Papier-Ausgaben herstellte (Wikipedia, Gutenberg-Bibel). Die Maße außen betragen 28,9 cm × 40,6 cm, was dem Format DIN A3 sehr nahe kommt (29,7 cm × 42,0 cm). Das Format der Seite innen führt zum Verhältnis wie 1 : 1,41, also 1 : √2. Das gilt entsprechend für die aufgeschlagene Doppelseite. Zwei weitere Exemplare der Gutenberg-Bibel bestätigen das, sie stimmen perfekt überein.

Die „Schedelsche Weltchronik“ (Wikipedia, Hartmann_Schedel), gedruckt 1493 in Nürnberg, ist ein Hauptwerk der Inkunabelzeit. Das liegt an den 1.809 Holzschnitten aus der Werkstatt des Michael Wohlgemut in Nürnberg, in der auch Dürer seine Lehrjahre absolvierte. Das Buch misst 32,9 cm × 47,4 cm, ist also fast einen halben Meter hoch, und hat das Seitenverhältnis wie 1 : 1,44. Die Folioausgabe der „Summa di aritmetica“ des Luca Pacioli in Folio stammt aus dem Jahr 1494. Sie hat außen 30,0 cm × 40,4 cm, also etwa wie 1 : 1,35. Die Seiten innen sind noch breiter, nämlich wie 1 : 1,29.

Die übrigen Beispiele sind im Quartformat und messen 21–22 cm × 30–31 cm. Der Bogen in Quarto wird einmal mehr gefaltet als in Folio und hat deshalb ein anderes Verhältnis der Seiten. Vor dem DIN-Format galt der 1883 eingeführte Normalbogen zu 33 cm × 42 cm plano. Er wurde gebrochen zu Folio mit 21 cm × 33 cm, Quart mit 16,5 cm × 21 cm, Oktav mit 10,5 cm × 16,5 cm etc. Hieraus ergibt sich für die Formate Folio und Oktav das Seitenverhältnis wie 1 : 1,57, für Quart aber 1 : 1,27.

Daher haben Quart-Bände immer ein anderes Format als Folio. Die Ausgabe der „Summa di aritmetica“ von 1521 hat 1 : 1,44, die „Theoricae novae planetarum“ von 1473, der Roman „Hypnerotomachia“ von 1499 aus dem Atelier des Aldo Manuzio in Venedig und die „Cosmographey“ des Sebastian Münster von 1564 haben alle das Verhältnis wie 1 : 1,5 (= 2 : 3), nur das „New Kreutterbuoch“ des Hieronymus Bock von 1539 ist mit 1 : 1,67 (= 3 : 5) deutlich schmäler.

Auf vielen Internetseiten, darunter Wikipedia, kann man lesen, dass in der Frühzeit des Buchdrucks das bei den handschriftlichen Kodizes übliche Verhältnis wie 2 : 3 (= 1 : 1,5) vorgeherrscht habe. Es stamme vom spätantiken Pergamentbogen, heißt es (Wikipedia, Buchformat). Die venezianische Renaissance mit ihrem Hauptvertreter Aldo Manuzio habe dann zum goldenen Schnitt (1 : Φ ≈ 1 : 1,618) gefunden. Sein Meisterwerk war die „Hypnerotomachia“, die Umberto Eco als das schönste Buch aller Zeiten bezeichnete (Wikipedia, Geschichte der Typographie).

Die Zusammenstellung oben macht deutlich, dass die Bücher in Folio nicht das Verhältnis wie 1 : 1,5 haben, sondern 1 : 1,41–1,44. Das deutet auf das Verhältnis von 1 : √2 mit seinen besonderen Eigenschaften. Die Bände in Quarto haben durch die Faltung bedingt ein anderes Seitenverhältnis als Folio und Oktav. Nur hier ist das Format 1 : 1,5 vorherrschend, daneben kommen 1 : 1,43 und 1 : 1,67 vor.

Der goldene Schnitt in der Frühzeit des Buchdrucks

Pacioli behandelt in seinem Traktat zur „divina proporzione“ den „goldenen Schnitt“, er empfiehlt ihn aber ausdrücklich weder für die Architektur noch für die Typographie. Er propagiert vielmehr die Proportionenlehre Vitruvs (nach Frings, Goldener Schnitt). Vitruv war im Mittelalter bekannt und ist mit 80 Handschriften ab etwa 800 belegt. Der erste Druck erschien 1486, er setzte eine Renaissance des Vitruv in Gang. Im Abschnitt über die Säulen geht es um die Eigenschaften, die das Gesamte „für das Auge gefälliger machen“ (hierzu Petroski, Vitruv). Behandelt werden Größenordnungen und Abstände, Kurvaturen (Einwölbung von Kanten), Inklinationen (Einwärtsneigung) und die Entasis (Verjüngung des Säulenschaftes).

Peter, Goldener Schnitt warnt auf seiner instruktiven Seite zum Thema vor einer „Manie“ in Hinsicht auf den „goldenen Schnitt“. Diese wurde durch die Schrift Adolf Zeisings, „Neue Lehre von den Proportionen des menschlichen Körpers aus einem bisher unerkannt gebliebenen, die ganze Natur und Kunst durchdringenden morphologischen Grundgesetze entwickelt“, aus dem Jahr 1854 hervorgerufen.