„DIN-Format“

Seitenverhältnis 1 : √2 („DIN-Format“)

Im DIN-Format, das nach der DIN 476 „Papierformate“ aus dem Jahr 1922 benannt ist, beträgt das Verhältnis der kürzeren zur längeren Seite 1 : √2. Das führt zu der überaus praktischen Eigenschaft, dass der Bogen Papier in ähnliche Bögen halbiert oder verdoppelt werden kann, also solche mit identischem Seitenverhältnis.

Wenn man ein Blatt Papier faltet, wird eine Seite halbiert und die andere bleibt unverändert. Die sichtbare Fläche, also das Produkt aus beiden Seiten, wird halbiert, das heißt durch 2 geteilt. Zu demselben Ergebnis gelangt man, wenn man beide Seiten durch √2 teilt. Denn √2 ist die Zahl, die mit sich selbst multipliziert 2 ergibt. In diesem Fall ändert sich das Seitenverhältnis nicht.

Wenn das Seitenverhältnis 1 : √2 beträgt, führt die Teilung durch √2 dazu, dass die lange Seite genau so lang ist wie vorher die kurze und die kurze halb so lang wie vorher die lange, also (1 ÷ √2) : 1. Das ist so, als sei nur eine Seite halbiert worden wie bei der Faltung. Hier führt die Faltung zur Halbierung in ähnliche Rechtecke.

Die fortlaufende Faltung erzeugt eine geometrische Folge mit dem Quotienten √2.

√24 : √23 : √22 : √21 : √20 : √2–1 : √2–2 : √2–3 : √2–4

(4  :  2,828  :  2  :  1,414  :  1  :  0,707  :  0,5  :  0,353  :  0,25)

In der geometrischen Folge ist ein Glied der geometrische Mittelwert der beiden benachbarten Glieder, das heißt die Wurzel aus deren Produkt (allgemein: die n-te Wurzel aus dem Produkt von n Gliedern). Demnach ist √2 der geometrische Mittelwert von 1 × 2.

In der geometrischen Ausdrucksweise bedeutet das: Das Rechteck mit den Seitenlängen 1 und 2 hat denselben Flächeninhalt wie das Quadrat mit der Seitenlänge √2, denn 1 × 2 = √2² = 2.

Die DIN 476 „Papierformate“ von 1922

Die Formatreihe DIN A ist mit nur drei Kriterien des Referenzformates A0 und der Teilungsvorschrift vollständig beschrieben:

  1. Seitenverhältnis 1 : √2, also: a ÷ b = √2, woraus a = b × √2 und b = a ÷ √2
  2. Flächeninhalt 1 m², also: a × b = 1, woraus a = 1 ÷ b und b = 1 ÷ a
  3. Rundung auf Millimeter

Durch Verdopplung der kurzen Seite entstehen die Formate 1A0, 2A0, … und durch Halbierung der langen A1, A2, …, durch viermalige Halbierung DIN A4, das allseits anerkannte „Büroformat“.

Aus dem Seitenverhältnis und dem Flächeninhalt lassen sich sehr leicht die Seiten des Formates DIN A0 berechnen:

Es gilt für die längere Seite (a)

a ÷ √2 = 1 ÷ a

a² ÷ √2 = 1

a² = √2

a = √√2 ≈ 1,189

und für die kürzere Seite (b)

b × √2 = 1 ÷ b

b² × √2 = 1

b² = 1 ÷ √2

b = 1 ÷ √√2 ≈ 0,841

Somit hat DIN A0 das Format 0,841 m × 1,189 m.

Irrationalität von √2

√2 ist eine irrationale Zahl, die also nicht als Bruch zweier natürlicher Zahlen dargestellt werden kann. Das heißt es gibt kein gemeinsames Maß mit den natürlichen Zahlen, beide sind inkommensurabel. Das wurde in der heute gültigen Form von Euklid (um 365–300 v. Chr.) bewiesen (Euklid X, Def. 1–4; vgl. Geyer, Euklid, S. 13–14).

Das Verhältnis von Seitenlänge und Diagonale im Quadrat beträgt √2. Bei Seitenlänge 1 hat die Diagonale √2, bei Seitenlänge √2 hat die Diagonale 2.

Das Quadrat hat als reguläres Polygon einen Inkreis im Durchmesser der Seitenlänge und einen Umkreis im Durchmesser der Diagonale. Der aus beiden Kreisen gebildete Ring hat denselben Flächeninhalt wie der Inkreis.

Im Rechteck mit den Seitenlängen 1 und √2 hat die Diagonale die Länge √3, das ist die Würfeldiagonale. Der Würfel, einer der fünf platonischen Körper, besteht aus 6 Quadraten mit 12 Kanten und 8 Ecken (rechte Abbildung). Jeweils 2 gegenüberliegende Ecken beschreiben ein Rechteck mit den Seitenlängen 1 und √2.

„Leiter des Theon“

In seinem um 130 n. Chr. entstandenen Werk „Das im Bereich der Mathematik für die Platonlektüre Nützliche“ stellt Theon von Smyrna die nach ihm benannte Näherung an die Quadratdiagonale auf. Die „Leiter des Theon“ beginnt mit dem Quadrat der Seitenlänge 1, also T1 = T2 = 1, das folgende ungerade Glied ist die Summe aus den beiden vorangehenden, das gerade Glied ist Summe aus den vorangehenden ungeraden Gliedern, also T3 = T1 + T2 = 2 und T4 = T1 + T3 = 3.

1, 1, 2, 3, 5, 7, 12, 17, 29, 41, 70, 99, 169, 239, 408, 577, 985, 1393, 2378, …

Der Quotient aus zwei aufeinanderfolgenden Theon-Zahlen ist abwechselnd kleiner und größer als √2 und nähert sich dieser immer weiter an. Der Quotient aus T12 ÷ T11 = 99 ÷ 70, weicht nur noch um –0,0051 % von √2 ab. Multipliziert mit 3 ergibt sich 297 ÷ 210, das ist das Format DIN A4 in Millimetern.

Pell-Folge

Es gibt eine Folge, die gegen den Grenzwert 1 + √2 konvergent ist, das ist die Pell-Folge. Jedes Glied ist die Summe aus dem Doppelten des vorangehenden und des vor diesem liegenden Gliedes. Die rekursive Bildungsvorschrift der Folge lautet:

Pn = 2 × Pn–1 + Pn–2

Die ersten Glieder der Pell-Folge lauten:

0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, 13.860, 33.461, 80.782, …

Wie man sieht, stimmen die Pell-Zahlen mit den ungeraden Gliedern der Theon-Zahlen überein. Es gibt eine explizite (geschlossene) Funktion, so dass man jede beliebige Pell-Zahl ohne Kenntnis der vorangehenden Glieder berechnen kann:

Pn = ((1 + √2)n – (1 – √2)n) ÷ 2 √2

Die Pell-Folge ist eine Differenzfolge, das heißt die Differenz zweier geometrischer Folgen mit den Quotienten (1 + √2) und 1 ÷ (1 – √2). Diese Differenz ist eine Folge der ganzzahligen Vielfachen von 2 √2.

Das ist der sogenannte „silbernes Schnitt“, der wie der „goldene Schnitt“ eine Strecke stetig teilt. Wenn im „goldenen Rechteck“ das Quadrat der kürzeren Seite, also das größtmögliche Quadrat, abgezogen wird, bleibt ein „goldenes Rechteck“ übrig. Wenn in einem „silbernen Rechteck“ das Quadrat der kürzeren Seite doppelt abgezogen wird, bleibt ein „silbernes Rechteck“ übrig.

Die ganze Strecke verhält sich zum größeren Teil wie der größere zum kleineren.

(2a + b) ÷ a = a ÷ b =: δ

Da führt zu der quadratischen Gleichung δ² – 2δ – 1 = 0 mit der positiven Lösung δ = 1 + √2.

Quellen: Kuhn, Iso Paper Size; Wikipedia, Papierformat; Wikipedia, A4-Format; Köhler, Papierformat; Wikipedia, Theon; Wikipedia, Pell-FolgeWikipedia, Pell Number.

Die Vorgeschichte der DIN 476

Ein Brief Lichtenbergs von 1786

Das Seitenverhältnis 1 : √2 wird erstmals in einem Brief des Physikers und Aphoristikers Georg Christoph Lichtenberg vom 25. Oktober 1786 erwähnt. Dem gedruckten Text ist zu entnehmen, dass der Brief, der an einen Empfänger in England ging, dieses Format hatte. Lichtenberg hebt die Vorzüge bei der Faltung hervor (Kuhn, Lichtenberg).

Ein französisches Gesetz von 1798

Kurz darauf, in der französischen Revolution, wurde das Seitenverhältnis 1 : √2 durch die „loi sur le timbre“ vom 13. Brumaire Jahr 7 (3. November 1798) zur gesetzlichen Vorschrift bei den Stempelpapieren. Das Format „grand registre“ (0,4204 m × 0,5946 m ≈ 0,2500 m²) entspricht DIN A2 und führt, in Lagen zu 4 Blättern gebunden, genau zu DIN A4 (Bulletin des lois VII, fasc. 237, Nr. 2136; vgl. Kuhn, Loi sur le timbre).

Beim Stempelpapier wird nicht das Papier besteuert, sondern die Urkunde, die darauf ausgefertigt wird. Das Gesetz steht mit der Einführung des metrischen Systems am 18. Germinal Jahr 3 (7. April 1795) im Zusammenhang und hatte nur eine kurze Lebensdauer.

Die deutsche Papiernorm von 1883

Der Normalbogen des „Vereins der deutschen Papierfabrikanten“ aus dem Jahr 1883 war die erste deutsche Papiernorm. Durch die Reichskanzlei wurde der Foliobogen 1889 gesetzlich zum „Reichsformat“ bestimmt. Die Norm galt bis zur Einführung der DIN 476 im Jahr 1922.

Der Planobogen als Referenzformat maß 33 cm × 42 cm und wurde durch Faltung an der längeren Seite in Folio, Quart, Oktav usw. geteilt. Er hatte das Seitenverhältnis wie 1 : 1,27, das gilt auch für den Quartbogen. In Folio oder Oktav hat die aufgeschlagene Doppelseite dieses Verhältnis, die Einzelseite hat 1 : 1,57.

Das Weltformat von 1911

In Kenntnis des Lichtenberg-Briefes legte der Chemie-Nobelpreisträgers Wilhelm Oswald 1911 sein „Weltformat“ vor, das bei 1 cm × 1,414 cm (Format I) begann und durch Verdoppelung der kürzeren Seite anwuchs.

Das Weltformat setzte sich weder bei den Papierindustriellen noch in der Reichskanzlei durch.

Die DIN 476 „Papierformate“

Der Verfasser der DIN 476, Walter Porstmann, war der Assistent Oswalds vor dem ersten Weltkrieg. Später arbeitete er für den „Normenausschuß der deutschen Industrie“ und gab 1922 die DIN 476 „Papierformate“ heraus, die heute als ISO 216 weltweit verbreitet ist. Porstmanns System ist wesentlich eleganter als das Weltformat.

 

 

Auf vielen Internetseiten, darunter Wikipedia, kann man lesen, dass in der Frühzeit des Buchdrucks das bei den handschriftlichen Kodizes übliche Verhältnis wie 2 : 3 (= 1 : 1,5) vorgeherrscht habe. Es stamme vom spätantiken Pergamentbogen, heißt es (Wikipedia, Buchformat). Die venezianische Renaissance mit ihrem Hauptvertreter Aldo Manuzio habe dann zum goldenen Schnitt (1 : Φ ≈ 1 : 1,618) gefunden. Sein Meisterwerk war die „Hypnerotomachia“, die Umberto Eco als das schönste Buch aller Zeiten bezeichnete (Wikipedia, Geschichte der Typographie).

(Janaszek, Goldener Schnitt)

(Tschichold, Willkürfreie Maßverhältnisse)

(Schopp, Typographie)

Das Format 1 : √2 und seine Eigenschaften waren spätestens seit Theon von Smyrna bekannt, jedenfalls lange vor dem 18. Jahrhundert. Auch als Buchformat scheint es verwendet worden zu sein, wie die folgende Zusammenstellung ausgewählter Zimelien aus der Frühzeit des Buchdrucks zeigen.

Werk Maße (Katalog) außen innen Ref.
Gutenberg-Bibel B42 (1452–54) 289 mm × 406 mm 1 : 1,41 1 : 1,41 GW 4201, 124 Ex.
Gutenberg-Bibel B42 (1452–54) 1 : 1,41 Göttinger Ex.
Gutenberg-Bibel B42 (1452–54) 1 : 1,41 Berliner Ex.
Peuerbach Theoricae novae planetarum (1473) 215 mm × 307 mm 1 : 1,43 1 : 1,5 GW M36634
Schedelsche Weltchronik (1493) 329 mm × 474 mm 1 : 1,44 1 : 1,44 GW M40784
Pacioli Summa di aritmetica (1494) 300 mm × 404 mm 1 : 1,35 1 : 1,29 GW M18913
Manuzio Hypnerotomachia (1499) 214 mm ×  319 mm 1 : 1,49 1 : 1,50 GW 7223
Pacioli Summa di aritmetica (1521)  k. A. 1 : 1,44 Res/4 Math.p. 356
Bock New Kreutterbuoch (1539)  k. A. 1 : 1,67 999/4° Med. 76
Münster Cosmographey (1564) 211 mm × 317 mm 1 : 1,50 1 : 1,50 VD16 M6698

Die 42-zeilige Gutenberg-Bibel von 1452–1454 gehört seit 2001 mit der Göttinger Ausgabe zum UNESCO-Weltdokumentenerbe. Es handelt sich um eine von insgesamt 30 Pergament-Ausgaben, die Gutenberg neben 150 Papier-Ausgaben herstellte (Wikipedia, Gutenberg-Bibel). Die Maße außen betragen 28,9 cm × 40,6 cm, was dem Format DIN A3 sehr nahe kommt (29,7 cm × 42,0 cm). Das Format der Seite innen führt zum Verhältnis wie 1 : 1,41, also 1 : √2. Das gilt entsprechend für die aufgeschlagene Doppelseite. Zwei weitere Exemplare der Gutenberg-Bibel bestätigen das, sie stimmen perfekt überein.

Die „Schedelsche Weltchronik“ (Wikipedia, Hartmann_Schedel), gedruckt 1493 in Nürnberg, ist ein Hauptwerk der Inkunabelzeit. Das liegt an den 1809 Holzschnitten aus der Werkstatt des Michael Wohlgemut in Nürnberg, in der auch Dürer seine Lehrjahre absolvierte. Das Buch misst 32,9 cm × 47,4 cm, ist also fast einen halben Meter hoch, und hat das Seitenverhältnis wie 1 : 1,44. Die Folioausgabe der „Summa di aritmetica“ des Luca Pacioli in Folio stammt aus dem Jahr 1494. Sie hat außen 30,0 cm × 40,4 cm, also etwa wie 1 : 1,35. Die Seiten innen sind noch breiter, nämlich wie 1 : 1,29.

Die übrigen Beispiele sind im Quartformat und messen 21–22 cm × 30–31 cm. Der Bogen in Quarto wird einmal mehr gefaltet als in Folio und hat deshalb ein anderes Verhältnis der Seiten. Vor dem DIN-Format galt der 1883 eingeführte Normalbogen zu 33 cm × 42 cm plano. Er wurde gebrochen zu Folio mit 21 cm × 33 cm, Quart mit 16,5 cm × 21 cm, Oktav mit 10,5 cm × 16,5 cm etc. Hieraus ergibt sich für die Formate Folio und Oktav das Seitenverhältnis wie 1 : 1,57, für Quart aber 1 : 1,27.

Daher haben Quart-Bände immer ein anderes Seitenformat als Folio. Die Ausgabe der „Summa di aritmetica“ von 1521 hat 1 : 1,44, die „Theoricae novae planetarum“ von 1473, der Roman „Hypnerotomachia“ von 1499 aus dem Atelier des Aldo Manuzio in Venedig und die „Cosmographey“ des Sebastian Münster von 1564 haben alle das Verhältnis wie 1 : 1,5 (= 2 : 3), nur das „New Kreutterbuoch“ des Hieronymus Bock von 1539 ist mit 1 : 1,67 (= 3 : 5) deutlich schmäler.

Die Zusammenstellung oben macht deutlich, dass die Bücher in Folio nicht das Verhältnis wie 1 : 1,5 haben, sondern 1 : 1,41–1,44. Das deutet auf das Verhältnis von 1 : √2 mit seinen besonderen Eigenschaften. Die Bände in Quarto haben durch die Faltung bedingt ein anderes Seitenverhältnis als Folio und Oktav. Nur hier ist das Format 1 : 1,5 vorherrschend, daneben kommen 1 : 1,43 und 1 : 1,67 vor.

Der goldene Schnitt in der Frühzeit des Buchdrucks

Pacioli behandelt in seinem Traktat zur „divina proporzione“ den „goldenen Schnitt“, er empfiehlt ihn aber ausdrücklich weder für die Architektur noch für die Typographie. Er propagiert vielmehr die Proportionenlehre Vitruvs (nach Frings, Goldener Schnitt). Vitruv war im Mittelalter bekannt und ist mit 80 Handschriften ab etwa 800 belegt. Der erste Druck erschien 1486, er setzte eine Renaissance des Vitruv in Gang. Im Abschnitt über die Säulen geht es um die Eigenschaften, die das Gesamte „für das Auge gefälliger machen“ (hierzu Petroski, Vitruv). Behandelt werden Größenordnungen und Abstände, Kurvaturen (Einwölbung von Kanten), Inklinationen (Einwärtsneigung) und die Entasis (Verjüngung des Säulenschaftes).

Peter, Goldener Schnitt warnt auf seiner instruktiven Seite zum Thema vor einer „Manie“ in Hinsicht auf den „goldenen Schnitt“. Diese wurde durch die Schrift Adolf Zeisings, „Neue Lehre von den Proportionen des menschlichen Körpers aus einem bisher unerkannt gebliebenen, die ganze Natur und Kunst durchdringenden morphologischen Grundgesetze entwickelt“, aus dem Jahr 1854 hervorgerufen.