„DIN-Format“ und andere Formate

Seitenverhältnis 1 : √2 („DIN-Format“)

Die DIN 476 „Papierformate“ aus dem Jahr 1922 beruht auf dem Seitenverhältnis 1 : √2. Das führt dazu, dass der Bogen Papier in ähnliche Bögen halbiert oder verdoppelt werden kann, also solche mit identischem Seitenverhältnis.

Wenn man ein Blatt Papier faltet, wird eine Seite halbiert und die andere bleibt unverändert. Die sichtbare Fläche, also das Produkt aus beiden Seiten, wird halbiert, das heißt durch 2 geteilt. Zu demselben Ergebnis gelangt man, wenn man beide Seiten durch √2 teilt. Denn √2 ist die Zahl, die mit sich selbst multipliziert 2 ergibt.

Wenn das Seitenverhältnis 1 : √2 beträgt, führt die Teilung durch √2 dazu, dass die lange Seite genau so lang ist wie vorher die kurze und die kurze halb so lang wie vorher die lange, also (1 ÷ √2) : 1. Das ist so, als sei nur eine Seite halbiert worden wie bei der Faltung. Die fortlaufende Faltung erzeugt eine geometrische Folge mit dem Quotienten √2.

√24 : √23 : √22 : √21 : √20 : √2–1 : √2–2 : √2–3 : √2–4

(4  :  2,828  :  2  :  1,414  :  1  :  0,707  :  0,5  :  0,353  :  0,25)

In der geometrischen Folge ist ein Glied der geometrische Mittelwert der beiden benachbarten Glieder, das heißt die Wurzel aus deren Produkt (allgemein: die n-te Wurzel aus dem Produkt von n Gliedern). Demnach ist √2 der geometrische Mittelwert von 1 × 2.

In der geometrischen Ausdrucksweise bedeutet das: Das Rechteck mit den Seitenlängen 1 und 2 hat denselben Flächeninhalt wie das Quadrat mit der Seitenlänge √2, denn 1 × 2 = √2² = 2.

Vorgeschichte der DIN 476

Die 42-zeilige Gutenberg-Bibel von 1452–1454 (GW 4201) ist die erste Inkunabel. Von 180 Exemplaren wurden 30 Exemplare auf Pergament gedruckt, 127 Exemplare sind heute bekannt. Die Pergamentausgaben von Göttingen und Paris weisen das Seitenverhältnis 1 : 1,41  auf, ebenso Papierausgaben aus Berlin und München. Wer will hier an Zufall glauben?

Das Seitenverhältnis 1 : √2 wird erstmals in einem Brief des Physikers und Aphoristikers Georg Christoph Lichtenberg vom 25. Oktober 1786 erwähnt. Dem gedruckten Text ist zu entnehmen, dass der Brief, der an einen Empfänger in England ging, dieses Format hatte. Lichtenberg hebt die Vorzüge bei der Faltung hervor.

Kurz darauf, in der französischen Revolution, wurde das Seitenverhältnis 1 : √2 durch die „loi sur le timbre“ vom 13. Brumaire Jahr 7 (3. November 1798) zur gesetzlichen Vorschrift bei den Stempelpapieren. Das Format „grand registre“ (0,4204 m × 0,5946 m ≈ 0,2500 m²) entspricht DIN A2 und führt, in Lagen zu 4 Blättern gebunden, genau zu DIN A4 (Bulletin des lois VII, fasc. 237, Nr. 2136). Beim Stempelpapier wird nicht das Papier besteuert, sondern die Urkunde, die darauf ausgefertigt wird. Das Gesetz steht mit der Einführung des metrischen Systems am 18. Germinal Jahr 3 (7. April 1795) im Zusammenhang und hatte nur eine kurze Lebensdauer.

Der Normalbogen des „Vereins der deutschen Papierfabrikanten“ aus dem Jahr 1883 war die erste deutsche Papiernorm. Durch die Reichskanzlei wurde der Foliobogen 1889 gesetzlich zum „Reichsformat“ bestimmt. Die Norm galt bis zur Einführung der DIN 476 im Jahr 1922. Der Planobogen als Referenzformat maß 33 cm × 42 cm und wurde durch Faltung an der längeren Seite in Folio, Quart, Oktav usw. geteilt. Er hatte das Seitenverhältnis wie 1 : 1,27, das gilt auch für den Quartbogen. In Folio oder Oktav hat die aufgeschlagene Doppelseite dieses Verhältnis, die Einzelseite hat 1 : 1,57.

In Kenntnis des Lichtenberg-Briefes legte der Chemie-Nobelpreisträgers Wilhelm Oswald 1911 sein „Weltformat“ vor, das bei 1 cm × 1,414 cm (Format I) begann und durch Verdoppelung der kürzeren Seite anwuchs. Das Weltformat setzte sich weder bei den Papierindustriellen noch in der Reichskanzlei durch.

Die DIN 476 „Papierformate“ von 1922

Der Verfasser der DIN 476, Walter Porstmann, war der Assistent Oswalds vor dem ersten Weltkrieg. Später arbeitete er für den „Normenausschuß der deutschen Industrie“ und gab 1922 die DIN 476 „Papierformate“ heraus, die heute als ISO 216 weltweit verbreitet ist. Porstmanns System ist wesentlich eleganter als das Weltformat.

Die Formatreihe DIN A ist mit nur drei Kriterien des Referenzformates A0 und der Teilungsvorschrift vollständig beschrieben:

  1. Seitenverhältnis 1 : √2, also: a ÷ b = √2, woraus a = b × √2 und b = a ÷ √2
  2. Flächeninhalt 1 m², also: a × b = 1, woraus a = 1 ÷ b und b = 1 ÷ a
  3. Rundung auf Millimeter

Durch Verdopplung der kurzen Seite entstehen die Formate 1A0, 2A0, … und durch Halbierung der langen A1, A2, …, durch viermalige Halbierung DIN A4, das allseits bekannte „Büroformat“.

Aus dem Seitenverhältnis und dem Flächeninhalt lassen sich sehr leicht die Seiten des Formates DIN A0 berechnen:

Es gilt für die längere Seite (a)

a ÷ √2 = 1 ÷ a

a² ÷ √2 = 1

a² = √2

a = √√2 ≈ 1,189

und für die kürzere Seite (b)

b × √2 = 1 ÷ b

b² × √2 = 1

b² = 1 ÷ √2

b = 1 ÷ √√2 ≈ 0,841

Somit hat DIN A0 das Format 0,841 m × 1,189 m.

Irrationalität von √2

√2 ist eine irrationale Zahl, die also nicht als Bruch zweier natürlicher Zahlen dargestellt werden kann. Das heißt es gibt kein gemeinsames Maß mit den natürlichen Zahlen, beide sind inkommensurabel. Das wurde in der heute gültigen Form von Euklid (um 365–300 v. Chr.) bewiesen (Euklid X, Def. 1–4).

Das Verhältnis von Seitenlänge und Diagonale im Quadrat beträgt √2. Bei Seitenlänge 1 hat die Diagonale √2, bei Seitenlänge √2 hat die Diagonale 2.

Das Quadrat hat als reguläres Polygon einen Inkreis im Durchmesser der Seitenlänge und einen Umkreis im Durchmesser der Diagonale. Der aus beiden Kreisen gebildete Ring hat denselben Flächeninhalt wie der Inkreis.

Im Rechteck mit den Seitenlängen 1 und √2 hat die Diagonale die Länge √3, das ist die Würfeldiagonale. Der Würfel, einer der fünf platonischen Körper, besteht aus 6 Quadraten mit 12 Kanten und 8 Ecken (rechte Abbildung). Jeweils 2 gegenüberliegende Ecken beschreiben ein Rechteck mit den Seitenlängen 1 und √2.

„Leiter des Theon“

In seinem um 130 n. Chr. entstandenen Werk „Das im Bereich der Mathematik für die Platonlektüre Nützliche“ stellt Theon von Smyrna die nach ihm benannte Näherung an die Quadratdiagonale auf. Die „Leiter des Theon“ beginnt mit dem Quadrat der Seitenlänge 1, also T1 = T2 = 1, das folgende ungerade Glied ist die Summe aus den beiden vorangehenden, das gerade Glied ist Summe aus den vorangehenden ungeraden Gliedern, also T3 = T1 + T2 = 2 und T4 = T1 + T3 = 3.

1, 1, 2, 3, 5, 7, 12, 17, 29, 41, 70, 99, 169, 239, 408, 577, 985, 1393, 2378, …

Der Quotient aus zwei aufeinanderfolgenden Theon-Zahlen ist abwechselnd kleiner und größer als √2 und nähert sich dieser immer weiter an. Der Quotient aus T12 ÷ T11 = 99 ÷ 70, weicht nur noch um –0,0051 % von √2 ab. Multipliziert mit 3 ergibt sich 297 ÷ 210, das ist das Format DIN A4 in Millimetern.

Pell-Folge, „Silberner Schnitt“

Es gibt eine Folge, die gegen den Grenzwert 1 + √2 konvergent ist, das ist die Pell-Folge. Jedes Glied ist die Summe aus dem Doppelten des vorangehenden und des vor diesem liegenden Gliedes. Die rekursive Bildungsvorschrift der Folge lautet:

pn = 2 × pn–1 + pn–2

Die ersten Glieder der Pell-Folge lauten:

0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, 13.860, 33.461, 80.782, …

Wie man sieht, stimmen die Pell-Zahlen mit den ungeraden Gliedern der Theon-Zahlen überein. Es gibt eine explizite (geschlossene) Funktion, so dass man jede beliebige Pell-Zahl ohne Kenntnis der vorangehenden Glieder berechnen kann:

pn = ((1 + √2)n – (1 – √2)n) ÷ 2 √2

Die Pell-Folge ist eine Differenzfolge, das heißt die Differenz zweier geometrischer Folgen mit den Quotienten (1 + √2) und 1 ÷ (1 – √2). Diese Differenz ist eine Folge der ganzzahligen Vielfachen von 2 √2.

Das ist der sogenannte „silbernes Schnitt“, der wie der „goldene Schnitt“ eine Strecke stetig teilt. Wenn im „goldenen Rechteck“ das Quadrat der kürzeren Seite, also das größtmögliche Quadrat, abgezogen wird, bleibt ein „goldenes Rechteck“ übrig. Wenn in einem „silbernen Rechteck“ das Quadrat der kürzeren Seite doppelt abgezogen wird, bleibt ein „silbernes Rechteck“ übrig.

Die ganze Strecke verhält sich zum größeren Teil wie der größere zum kleineren.

(2a + b) ÷ a = a ÷ b =: δ

Da führt zu der quadratischen Gleichung δ² – 2δ – 1 = 0 mit der positiven Lösung δ = 1 + √2.

„Goldener Schnitt“,  Fibonacci-Folge

Der „goldene Schnitt“ teilt eine Strecke so, dass sich die gesamte Strecke zum größeren Teil, „Maior“ (M), so verhält wie der größere zum kleineren Teil, „minor“ (m). Das Teilungsverhältnis beträgt 38,2 % zu 61,8 % oder 137,5° zu 222,5°.

Das aus der gesamten Strecke und dem kürzeren Abschnitt gebildete Rechteck hat denselben Flächeninhalt wie das über dem längeren Abschnitt gebildete Quadrat. So formulierte das Euklid (um 365–300 v. Chr.) in seinen „Elementen“ (Euklid II, Prop. 11; VI, Def. 3). Das Verhältnis der größeren Teilstrecke zur kleineren ist die „goldene Zahl“ φ, die irrational ist und nicht als endlicher Bruch zweier natürlicher Zahlen dargestellt werden kann.

Ein Rechteck mit dem Seitenverhältnis 1 : φ heißt „goldenes Rechteck“. Wenn man von diesem das Quadrat der kürzeren Seite, also das größte Quadrat, abzieht, bleibt wieder ein „goldenes Rechteck“ übrig. Das bricht nie ab. Die Teilung ist stetig.

Die Konstruktion des „goldenen Rechtecks“ mit den Seiten 1 und φ ist einfach möglich. Man verbindet im Quadrat der Seitenlänge 1 die Seitenhalbierende mit der der gegenüberliegenden Ecke. Dann trägt man den Abstand außen ab.

Es handelt sich hier um die Diagonale des Rechtecks mit den Seitenlängen ½ und 1, sie hat die Länge √(¼ + 1) = ½ √5. Die Seitenlänge des goldenen Rechtecks beträgt ½ + ½ √5 = ½ (1 + √5) = φ ≈ 1,618. Der längere Abschnitt (M) ist 1 und der kürzere Abschnitt (m) ist φ – 1 = 1 ÷ φ. Die geometrische Mitte von φ und 1 ÷ φ ist 1.

Die Summe aus zwei Zahlen geteilt durch 2 ist das arithmetische Mittel dieser beiden Zahlen. Somit ist die „goldene Zahl“ φ das arithmetische Mittel von 1 und √5, denn: φ = (1 + √5) ÷ 2. Wenn man φ mit dem Kehrwert addiert, ist das Ergebnis √5, also: φ + 1 ÷ φ = √5. Diese irrationale Zahl √5 ist die Diagonale im Rechteck der Seitenlängen 1 und 2.

Der „goldene Schnitt“ kommt in regulären Polygonen häufig vor. Er kann im gleichseitigen Dreieck durch die Seitenhalbierenden auf dem Umkreis abgetragen werden, was erst 1982 veröffentlicht wurde (dritte Abbildung). Im Quadrat teilt das „goldene Rechteck“ die Seiten im „goldene Schnitt“ (erste Abbildung). Entdeckt wurde der „goldene Schnitt“ im regulären Fünfeck (zweite Abbildung). Die inneren Diagonalen teilen einander nach diesem Verhältnis. Sie bilden das Sternfünfeck („Pentagramm“). Die beiden Diagonalen einer Ecke bilden mit der gegenüberliegenden Seite ein „goldenes Dreieck“, und die Diagonale verhält sich zur Seite wie M : m.

Das „goldene Rechteck“ kommt im Ikosaeder („Zwanzigflach“) vor, einem der fünf platonischen Körper. Er wird durch 20 gleichseitige Dreiecke begrenzt, hat 30 Kanten und 12 Ecken. Diese 12 Ecken sind die Ecken von drei senkrecht aufeinander stehenden „goldenen Rechtecken“.

Eine besondere Eigenschaft der „goldenen Zahl“ φ besteht darin, dass die Potenzen in linearer Form dargestellt werden können, φ² = φ + 1 ≈ 2,618 und 1 ÷ φ = φ – 1 ≈ 0,618.

φ2 = 1 φ + 1
φ3 = 2 φ + 1
φ4 = 3 φ + 2
φ5 = 5 φ + 3
φ6 = 8 φ + 5
φ7 = 13 φ + 8
φ8 = 21 φ + 13

Die lineare Umformung kann rekursiv aus der vorherigen ermittelt werden:

φn = an φ + an–1

Die Rekursion ist wohlbekannt: Es handelt sich um die Fibonacci-Zahlen, die nach dem Mathematiker Leonardo da Pisa gen. Fibonacci (um 1180–1250) heißen, einem Zeitgenossen Kaiser Friedrichs II. von Hohenstaufen, dem er auch begegnete.

Entschlüsselt wurden sie aber erst durch Johannes Kepler in dessen 1619 erschienenen Hauptwerk „Harmonices mundi“. Sie sind für ihn der Schlüssel zur Sphärenharmonie. Er formulierte ihr Bildungsgesetz und stellte fest, dass das Quadrat der Fibonacci-Zahlen abwechselnd größer und kleiner ist als das Produkt der benachbarten Glieder. Außerdem fand er heraus, dass der Quotient aus zwei benachbarten Fibonacci-Zahlen gegen die goldene Zahl φ konvergiert, das heißt er nähert sich immer weiter an, wobei er abwechselnd größer und kleiner ist als diese

Die Fibonacci-Zahlen sind eine Zahlenfolge, bei der jedes Glied die Summe der beiden vorangehenden Glieder ist, beginnend mit f1 = f2 = 1. Die rekursive Gleichung lautet: fn = fn–1 + fn–2.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, …

Die Fibonacci-Zahlen sind eine ganzzahlige Differenzfolge der Form fn = an – bn.

an = (1 ÷ √5) × ((1 + √5) ÷ 2)n 

bn = (1 ÷ √5) × ((1 – √5) ÷ 2)n 

Hieraus ergibt sich die Formel von Binet, mit der jedes Glied berechnet werden kann oder noch einfacher mit der Gaußklammer (www.matheboard.de/archive/585322/thread.html).

fn = ( ((1 + √5) ÷ 2)n – ((1 + √5) ÷ 2)n ) ÷ √5

fn = ⌊ ((1 + √5) ÷ 2)n ÷ √5 + ½ ⌋